Linjär algebra · 2024-02-10
Avgör om nedan ekvation i $\mathbb{R}^3$ beskriver en punkt, en linje, ett plan eller hela rummet. Delpoäng kan ges för korrekt angivna definitioner av, eller hänvisningar till, begreppen linjärt beroende och linjärt oberoende.
$$ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix}, \\quad r,s,t \in \mathbb{R}. $$
Vi ser direkt, eller via Gausseliminering, att
$$
\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}
=2\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}
-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}.
$$
De tre riktningsvektorerna är alltså linjärt beroende, så en av dem kan elimineras. Ekvationen kan skrivas
$$
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
+(r-t)\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
+(s+2t)\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix},
\qquad r,s,t\in\mathbb R.
$$
Då $r,s,t$ varierar fritt varierar också $r-t$ och $s+2t$ fritt. Ekvationen beskriver därför samma mängd punkter som
$$
\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
+a\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
+b\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix},
\qquad a,b\in\mathbb R.
$$
De två riktningsvektorerna är linjärt oberoende eftersom ingen är en skalärmultipel av den andra. Detta är alltså ett plan. Svar: ett plan.