Ekvationssystemet på matrisform blir \[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 4 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 2 & a \\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 4 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & -3 & -6 & -a \\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 4 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 2 & a/3 \\
\end{array}
\right).
\] Efter ett par steg till fås \[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 4 & a \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & a/3 -2 \\
\end{array}
\right),
\] och vi ser att om $a/3-2 \neq 0$ så saknas lösningar. Om $a=6$, så får vi \[
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 4 & 6 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
\sim
\left(
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -2 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right).
\] Vi ser alltså att om $a=6$, har vi parameterlösningen $x=2t$, $y=2-2t$, $z=t$, $t\in \setR$. Detta är en linje i rummet. För övriga $a$ saknar systemet lösning.