Linjär algebra · 2025-08-20

Uppgift 1

Uppgift 1

Låt $\fvec_1 = (2,1)$ och $\fvec_2 = (4,-3)$ vara en bas i planet.

(a)

Uttryck vektorn $\fvec_1 + 2\fvec_2$ i standardbasen.

(b)

Bestäm vektorn $\vvec = (2,5)$ i $\fvec$-basen.

(c)

Bestäm avståndet mellan punkten $(1,8)$ och linjen $L:\; x-2y=0$.

Visa lösningDölj lösning

Vi har $\fvec_1 + 2\fvec_2 = (2,1) + 2(4,-3) = (8,-5)$.
Vi vill lösa \[ a(2,1) + b(4,-3) = (2,5) \iff \begin{cases} 2a+4b=2 \\ a-3b = 5. \end{cases} \] Detta ger $2(5+3b)+4b=2$ så $b = -4/5$ och då får vi $a = 13/5$. Så $(2,5) = \frac{13}{5} \fvec_1 - \frac{4}{5} \fvec_2$.
Vektorn $(1,-2)$ är vinkelrät mot $L$. Vi utgår från $(1,8)$ och går längs med linjens normal tills vi hamnar på $L$. Dvs. vi vill att $(1,8)+s(1,-2)$ ligger på $L$. Detta leder till ekvationen \[ (1+s) - 2(8-2s) =0 \implies s=3. \] Alltså är avståndet $3\norm{(1,-2)} = 3 \sqrt{5}$.