MM2001 · Linjär algebra

Tenta 2025-08-20

Per Alexandersson5 uppgifter

#Uppgift 1

Uppgift 1

Låt $\fvec_1 = (2,1)$ och $\fvec_2 = (4,-3)$ vara en bas i planet.

(a)

Uttryck vektorn $\fvec_1 + 2\fvec_2$ i standardbasen.

(b)

Bestäm vektorn $\vvec = (2,5)$ i $\fvec$-basen.

(c)

Bestäm avståndet mellan punkten $(1,8)$ och linjen $L:\; x-2y=0$.

Visa lösningDölj lösning

Vi har $\fvec_1 + 2\fvec_2 = (2,1) + 2(4,-3) = (8,-5)$.
Vi vill lösa \[ a(2,1) + b(4,-3) = (2,5) \iff \begin{cases} 2a+4b=2 \\ a-3b = 5. \end{cases} \] Detta ger $2(5+3b)+4b=2$ så $b = -4/5$ och då får vi $a = 13/5$. Så $(2,5) = \frac{13}{5} \fvec_1 - \frac{4}{5} \fvec_2$.
Vektorn $(1,-2)$ är vinkelrät mot $L$. Vi utgår från $(1,8)$ och går längs med linjens normal tills vi hamnar på $L$. Dvs. vi vill att $(1,8)+s(1,-2)$ ligger på $L$. Detta leder till ekvationen \[ (1+s) - 2(8-2s) =0 \implies s=3. \] Alltså är avståndet $3\norm{(1,-2)} = 3 \sqrt{5}$.

#Uppgift 2

Uppgift 2

Låt $A$ och $B$ ges av \[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 70 & 200 & 80 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{bmatrix}. \] Beräkna determinanterna av matriserna $A$, $B$ och $AB$. Avgör därefter vilken/vilka av matriserna $A$, $B$ och $AB$ som har invers.

Visa lösningDölj lösning

Vi beräknar $|A|$ och har att \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ \end{vmatrix} \] där vi subtraherat första kolonnen från sista. Utvecklar vi längs med sista kolonnen ser vi att determinanten $|A|=2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 1$. Alltså har $A$ invers.

Vidare, om vi subtraherar $2$ av sista raden från den andra i $B$, ser vi att \[ |B| = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 70 & 200 & 80 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 10 & 0 & 20 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{vmatrix}. \] Eftersom två rader är lika, gäller $|B|=0$. Alltså saknar $B$ invers. Nu $|AB| = |A|\cdot |B| = 1\cdot 0 = 0$ så $AB$ saknar också invers.

#Uppgift 3

Uppgift 3

De två planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ ges på parameterform; \[\begin{aligned} \Pi_1 &= \{ (1,5,1) + s(3,3,3) + t(2,0,2) : s,t \in \setR \}, \\ \Pi_2 &= \{ (1,0,0) + s(100,0,0)+t(0,1,1) : s,t \in \setR \}. \end{aligned}\]

(a)

Bestäm normalvektorerna för $\Pi_1$ och $\Pi_2$.

(b)

Bestäm på normalform det plan som är vinkelrätt mot både $\Pi_1$ och $\Pi_2$ och som innehåller punkten $(1,1,1)$.

Visa lösningDölj lösning

Normalvektorn för $\Pi_1$ är vinkelrät mot både $(3,3,3)$ och $(2,0,2)$. En sådan vektor kan beräknas via kryssprodukt, eller så ser man direkt att $\nvec_1=(-1,0,1)$ är vinkelrät mot båda. På samma sätt, $\Pi_2$ har normalvektorn $\nvec_2=(0,1,-1)$.
Två plan anses vara vinkelräta om deras normaler är vinkelräta mot varandra. Det tredje planet vi söker ska alltså ha en normal som är vinkelrät mot både $\nvec_1$ och $\nvec_2$. En sådan vektor fås genom att beräkna $\nvec_1 \times \nvec_2$, eller så ser man att $\nvec_3 = (1,1,1)$ är vinkelrät mot både $\nvec_1$ och $\nvec_2$. Planets ekvation vi söker är då på formen $x+y+z=D$. Eftersom planet ska innehålla $(1,1,1)$ ges då planet vi söker av $x+y+z=3$.

#Uppgift 4

Uppgift 4

Definiera den linjära avbildningen $T:\setR^3 \to \setR^3$ genom att \[ T(1,0,1)=(1,0,0), \quad T(-1,1,-1) = (0,1,0), \quad T(0,0,1) = (0,0,1). \]

(a)

Beräkna $T(6,3,6)$.

(b)

En ny avbildning $S:\setR^3 \to \setR^3$ ges av \[ S(x,y,z) = T(x,y,z)+T(y,x,z). \] Visa att $S$ är en linjär avbildning.

(c)

Visa att $S$ saknar invers.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom $(6,3,6) = 9(1,0,1) + 3(-1,1,-1)$ så gäller det att \[ T(6,3,6) = 9 T(1,0,1) + 3 T(-1,1,-1) = 9(1,0,0) + 3(0,1,0) = (9,3,0). \]
Notera att \[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ x \\ z \end{bmatrix}. \] Låt $T$s avbildningsmatris i standardbasen vara $A$, och matrisen ovan vara $B$. Avbildningen $S$ kan vi då uttrycka som en matrismultiplikation på koordinater i standardbasen enligt \[ S(\vvec) = A\vvec + AB\vvec = (A+AB)\vvec. \] Detta visar att $S$ är linjär.
Vi ser att $S(2,1,0) = T(2,1,0)+T(1,2,0) = S(1,2,0)$ så $S$ skickar två olika vektorer på samma. Då saknas invers.

#Uppgift 5

Uppgift 5

Dorotea och Berit har ett hemligt svampställe i skogen, som ligger en bit från parkeringsplatsen (

). Dorotea brukar gå längs det trasiga elljusspåret till den första lampan, och därefter promenera längs en stig i östlig riktning. Berit (som är lite mer rädd av sig) går längs elljusspåret med fungerande lampor, och vid den tredje lampan tar hon en kort promenad sydväst. Svampstället är markerat i figuren nedan, (

Om vi låter $\uvec$ och $\vvec$ vara vektorerna som startar på parkeringen och slutar vid första lampan på respektive elljusspår, hur kan man uttrycka vektorn från parkeringen till svampstället i termer av $\uvec$ och $\vvec$? Lamporna på respektive elljusspår är regelbundet placerade.

Visa lösningDölj lösning

Dorotea går i skogen längs en vektor med riktningen $5\uvec - \vvec$. Berit går i skogen längs en vektor med riktningen $2\vvec - 3\uvec$. Svampställets position kan då beskrivas på två sätt: \[ \vvec + s(5\uvec - \vvec) = 3\uvec + t (2\vvec - 3\uvec). \] Jämför vi koefficienter för vektorerna, får vi de två ekvationerna \[ s + 2t = 1, \quad 5s + 3t = 3. \] Detta ger $s = \frac37$ $t=\frac27$. Svampställets position är då \[ \vvec + \frac37 (5\uvec - \vvec) = \frac{15}{7}\uvec + \frac{4}{7}\vvec. \]