Linjär algebra · 2025-08-20

Uppgift 3

Uppgift 3

De två planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ ges på parameterform; \[\begin{aligned} \Pi_1 &= \{ (1,5,1) + s(3,3,3) + t(2,0,2) : s,t \in \setR \}, \\ \Pi_2 &= \{ (1,0,0) + s(100,0,0)+t(0,1,1) : s,t \in \setR \}. \end{aligned}\]

(a)

Bestäm normalvektorerna för $\Pi_1$ och $\Pi_2$.

(b)

Bestäm på normalform det plan som är vinkelrätt mot både $\Pi_1$ och $\Pi_2$ och som innehåller punkten $(1,1,1)$.

Visa lösningDölj lösning

Normalvektorn för $\Pi_1$ är vinkelrät mot både $(3,3,3)$ och $(2,0,2)$. En sådan vektor kan beräknas via kryssprodukt, eller så ser man direkt att $\nvec_1=(-1,0,1)$ är vinkelrät mot båda. På samma sätt, $\Pi_2$ har normalvektorn $\nvec_2=(0,1,-1)$.
Två plan anses vara vinkelräta om deras normaler är vinkelräta mot varandra. Det tredje planet vi söker ska alltså ha en normal som är vinkelrät mot både $\nvec_1$ och $\nvec_2$. En sådan vektor fås genom att beräkna $\nvec_1 \times \nvec_2$, eller så ser man att $\nvec_3 = (1,1,1)$ är vinkelrät mot både $\nvec_1$ och $\nvec_2$. Planets ekvation vi söker är då på formen $x+y+z=D$. Eftersom planet ska innehålla $(1,1,1)$ ges då planet vi söker av $x+y+z=3$.