Linjär algebra · 2025-08-20

Uppgift 4

Uppgift 4

Definiera den linjära avbildningen $T:\setR^3 \to \setR^3$ genom att \[ T(1,0,1)=(1,0,0), \quad T(-1,1,-1) = (0,1,0), \quad T(0,0,1) = (0,0,1). \]

(a)

Beräkna $T(6,3,6)$.

(b)

En ny avbildning $S:\setR^3 \to \setR^3$ ges av \[ S(x,y,z) = T(x,y,z)+T(y,x,z). \] Visa att $S$ är en linjär avbildning.

(c)

Visa att $S$ saknar invers.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom $(6,3,6) = 9(1,0,1) + 3(-1,1,-1)$ så gäller det att \[ T(6,3,6) = 9 T(1,0,1) + 3 T(-1,1,-1) = 9(1,0,0) + 3(0,1,0) = (9,3,0). \]
Notera att \[ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y \\ x \\ z \end{bmatrix}. \] Låt $T$s avbildningsmatris i standardbasen vara $A$, och matrisen ovan vara $B$. Avbildningen $S$ kan vi då uttrycka som en matrismultiplikation på koordinater i standardbasen enligt \[ S(\vvec) = A\vvec + AB\vvec = (A+AB)\vvec. \] Detta visar att $S$ är linjär.
Vi ser att $S(2,1,0) = T(2,1,0)+T(1,2,0) = S(1,2,0)$ så $S$ skickar två olika vektorer på samma. Då saknas invers.