Linjär algebra · 2025-08-20

Uppgift 2

Uppgift 2

Låt $A$ och $B$ ges av \[ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 70 & 200 & 80 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{bmatrix}. \] Beräkna determinanterna av matriserna $A$, $B$ och $AB$. Avgör därefter vilken/vilka av matriserna $A$, $B$ och $AB$ som har invers.

Visa lösningDölj lösning

Vi beräknar $|A|$ och har att \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \\ \end{vmatrix} \] där vi subtraherat första kolonnen från sista. Utvecklar vi längs med sista kolonnen ser vi att determinanten $|A|=2\cdot 2 - 3\cdot 1 = 1$. Alltså har $A$ invers.

Vidare, om vi subtraherar $2$ av sista raden från den andra i $B$, ser vi att \[ |B| = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 70 & 200 & 80 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 10 & 0 & 20 \\ 10 & 0 & 20 \\ 30 & 100 & 30 \\ \end{vmatrix}. \] Eftersom två rader är lika, gäller $|B|=0$. Alltså saknar $B$ invers. Nu $|AB| = |A|\cdot |B| = 1\cdot 0 = 0$ så $AB$ saknar också invers.