Uppgift 1

Vi skriver systemet i en utökad matris och använder Gausseliminering:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} a&1&-a&-1\\ 1&2&1&2\\ 2&4&-1&-2\\ 2&4&5&10 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&1&2\\ a&1&-a&-1\\ 2&4&-1&-2\\ 2&4&5&10 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&1&2\\ 0&1-2a&-2a&-1-2a\\ 0&0&-3&-6\\ 0&0&3&6 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&1&2\\ 0&1-2a&-2a&-1-2a\\ 0&0&-3&-6\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&1&2\\ 0&1-2a&-2a&-1-2a\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&0&0\\ 0&1-2a&0&-1+2a\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right). $$
I första steget bytte vi plats på rad 1 och rad 2. Därefter adderade vi $-a$ gånger rad 1 till rad 2, $-2$ gånger rad 1 till rad 3 och $-2$ gånger rad 1 till rad 4. Sedan adderade vi rad 3 till rad 4, multiplicerade rad 3 med $-1/3$ och eliminerade med hjälp av rad 3.

Vi delar nu upp i två fall.

Om $a=1/2$ blir den reducerade trappstegsformen
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1&2&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right). $$
Variabeln $y$ är fri; sätt $y=t$. Då är
$$ (x,y,z)=(0,0,2)+t(-2,1,0),\qquad t\in\mathbb R. $$

Om $a\ne1/2$ kan vi eliminera den andra variabeln och får identitetsmatrisen på vänster sida med högerled $(2,-1,2)^T$. Den unika lösningen är alltså
$$ (x,y,z)=(2,-1,2). $$