Linjär algebra · 2026-01-08
Avgör för vilka värden på det reella talet $a \in \mathbb{R}$ som följande matris är inverterbar:
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & a & -2 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}. $$
Avgör för vilka värden på det reella talet $a \in \mathbb{R}$ som matrisen $A$ (från föregående deluppgift) kommuterar med matrisen $B$ (dvs. $AB = BA$) där
$$ B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}. $$
(a) Vi beräknar determinanten:
$$
\det A
=\begin{vmatrix}1&0&-1\\1&a&-2\\0&-1&2\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&a&-1\\0&-1&2\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}a&-1\\-1&2\end{vmatrix}
=2a-1.
$$
Matrisen är inverterbar om och endast om $a\ne1/2$.
(b) Med
$$
B=\begin{pmatrix}2&0&1\\-1&1&2\\0&1&1\end{pmatrix}
$$
får vi
$$
AB-BA
=
\begin{pmatrix}2&-1&0\\2-a&a-2&2a-1\\1&1&0\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&a-2&3\\1&a-1&0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}0&0&0\\2-a&0&2a-4\\0&2-a&0\end{pmatrix}.
$$
Alltså kommuterar $A$ och $B$ om och endast om $a=2$.