Linjär algebra · 2026-01-08
Bestäm två olika plan (på normalform) som skär varandra ortogonalt och som båda innehåller linjen $\ell : \{(1 + t, 1, 1 - t) : t \in \mathbb{R}\}$.
Bestäm avståndet mellan planet $p_1$ givet på normalform av $x - 2y + z = 1$ och planet $p_2$ givet på parameterform av $(1, 1, 1) + s(3, 2, 1) + t(-1, 2, 5)$ där $s, t \in \mathbb{R}$ är parametrar.
(a) Linjen har riktningsvektor $\mathbf u=(1,0,-1)$. Välj $\mathbf v=(0,1,0)$, som är ortogonal mot $\mathbf u$, och sätt $\mathbf w=\mathbf u\times\mathbf v=(1,0,1)$. Låt $p$ ha $\mathbf v$ som normalvektor och $q$ ha $\mathbf w$ som normalvektor. Dessa plan skär varandra ortogonalt. Punkten $(1,1,1)$ ligger på linjen. Välj därför
$$
p:\ y-1=0,\qquad q:\ x+z-2=0.
$$
Båda planen innehåller linjen och deras normalvektorer är ortogonala.
(b) En normalvektor till planet $p_2$ är
$$
(3,2,1)\times(-1,2,5)
=\left(
\begin{vmatrix}2&1\\2&5\end{vmatrix},
-\begin{vmatrix}3&1\\-1&5\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}3&2\\-1&2\end{vmatrix}
\right)
=(8,-16,8)=8(1,-2,1),
$$
så planen $p_1$ och $p_2$ är parallella. Välj $P_1=(1,0,0)$ på $p_1$ och $P_2=(1,1,1)$ på $p_2$. Då är
$$
\overrightarrow{P_1P_2}=(0,1,1),
$$
och avståndet är längden av projektionen på $\mathbf n=(1,-2,1)$:
$$
\left\lVert\operatorname{proj}_{\mathbf n}\overrightarrow{P_1P_2}\right\rVert
=\frac{|\mathbf n\cdot\overrightarrow{P_1P_2}|}{\lVert\mathbf n\rVert}
=\frac1{\sqrt6}.
$$