Uppgift 5
För godtyckliga vektorer $\mathbf{u}$, $\mathbf{w}$ i $\mathbb{R}^3$ så låt $\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{w})$ beteckna den ortogonala projektionen av vektorn $\mathbf{w}$ på vektorn $\mathbf{u}$.
Låt $\mathbf{u} = (1, 0, 1)$, $\mathbf{v} = (2, 1, 1)$ vara vektorer i $\mathbb{R}^3$ och låt $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ vara avbildningen som definieras av $T(\mathbf{w}) = \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{w}) + \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})$.
(a)
Bestäm $T(a, b, c)$ för en godtycklig vektor $(a, b, c)$ i $\mathbb{R}^3$.
(b)
Visa att $T$ är en linjär avbildning. Notera att man inte får ta det för givet att ortogonal projektion är linjär.
(c)
Hitta en nollskild vektor $\mathbf{w}$ sådan att $T(\mathbf{w}) = (0, 0, 0)$.