Uppgift 1

Vi skriver ekvationssystemet i en utökad matris och använder Gausselimination:
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} a&-2&2&-5&0\\ 1&2&2&-3&1\\ -1&-2&-1&1&0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ a&-2&2&-5&0\\ -1&-2&-1&1&0 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ 0&-2a-2&2-2a&3a-5&-a\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right). $$
I första steget bytte vi plats på rad 1 och rad 2. I andra steget adderade vi rad 1 multiplicerad med $-a$ till rad 2 och sedan adderade vi rad 1 multiplicerad med $1$ till rad 3.

Vi delar nu upp i två fall.

Om $a\ne-1$ får vi genom Gausseliminering
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ 0&-2(a+1)&-2(a-1)&3a-5&-a\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ 0&1&\frac{a-1}{a+1}&-\frac{3a-5}{2(a+1)}&\frac{a}{2(a+1)}\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&0&1&-1\\ 0&1&0&\frac12&\frac{2-a}{2(a+1)}\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&0&0&0&-\frac3{a+1}\\ 0&1&0&\frac12&\frac{2-a}{2(a+1)}\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right). $$
I första steget multiplicerade vi rad 2 med $-1/(2a+2)$. I andra steget adderade vi rad 3 multiplicerad med $-(a-1)/(a+1)$ till rad 2 och multiplicerade rad 3 med $-2$ till rad 1. I tredje steget adderade vi rad 2 multiplicerad med $-2$ till rad 1. Vi har därmed en fri variabel $w$ som vi sätter lika med parametern $t\in\mathbb R$. Lösningarna blir
$$ (x,y,z,w)=\left(-\frac3{a+1},\frac{2-a}{2(a+1)},1,0\right)+t\left(0,-\frac12,2,1\right),\qquad t\in\mathbb R. $$

Om $a=-1$ får vi genom Gausseliminering
$$ \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ 0&0&4&-8&1\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1&2&2&-3&1\\ 0&0&0&0&-3\\ 0&0&1&-2&1 \end{array}\right). $$
Här adderade vi rad 3 multiplicerad med $-4$ till rad 2. Ekvationen i rad 2 ger en motsägelse och alltså finns inga lösningar i detta fall.