Linjär algebra · 2026-02-07
Avgör för vilka värden på det reella talet $a \in \mathbb{R}$ som vektorerna $\mathbf{u} = (1, a, a)$, $\mathbf{v} = (-2, 2, 3)$, $\mathbf{w} = (1, -1, -6)$ är linjärt oberoende.
Beräkna, för varje värde på det reella talet $a \in \mathbb{R}$, determinanten till matrisen $2 \cdot A^{10}$ där
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ a & 2 & -1 \\ a & 3 & -6 \end{pmatrix}. $$
(a) Vektorerna är linjärt oberoende om och endast om ekvationen
$$
A\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\\\nu\end{pmatrix}=\mathbf0,\qquad
A=\begin{pmatrix}1&-2&1\\a&2&-1\\a&3&-6\end{pmatrix}
$$
endast har den triviala lösningen. Detta gäller om och endast om
$$
\det(A)=-9(1+a)\ne0,
$$
det vill säga om $a\ne-1$.
(b) Vi använder determinantens multiplikativitet:
$$
\det(2A^{10})=2^3\det(A^{10})
=2^3\det(A)^{10}
=2^3\,9^{10}(a+1)^{10}.
$$