Linjär algebra · 2026-02-07
Låt $p_1$ vara planet givet på normalform av $x - 2y + z = -1$ och planet $p_2$ givet på parameterform av $(1, 1, 1) + s(2, 2, 1) + t(-1, 2, 3)$ där $s, t \in \mathbb{R}$ är parametrar.
Bestäm $a \in \mathbb{R}$ sådant att de tre planen $p_1$, $p_2$, $p_3$ skär varandra i en linje $\ell$, där planet $p_3$ är givet på normalform av $-x + y - 3z = a$.
Bestäm linjen $\ell$ på parameterform.
(a) Planet $p_2$ har en normalvektor
$$
(2,2,1)\times(-1,2,3)
=\left(
\begin{vmatrix}2&1\\2&3\end{vmatrix},
-\begin{vmatrix}2&1\\-1&3\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}2&2\\-1&2\end{vmatrix}
\right)
=(4,-7,6),
$$
vilket ger att $p_2$ på normalform ges av $4x-7y+6z=D$ för något $D\in\mathbb R$. Eftersom punkten $(1,1,1)$ ligger på $p_2$ har vi $D=4-7+6=3$.
En punkt $(x_0,y_0,z_0)$ ligger på alla tre planen om och endast om
$$
\begin{pmatrix}1&-2&1\\4&-7&6\\-1&1&-3\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_0\\y_0\\z_0\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}-1\\3\\a\end{pmatrix}.
$$
Vi skriver detta som en utökad matris och använder Gausseliminering:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-2&1&-1\\
4&-7&6&3\\
-1&1&-3&a
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-2&1&-1\\
0&1&2&7\\
0&-1&-2&a-1
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-2&1&-1\\
0&1&2&7\\
0&0&0&a+6
\end{array}\right).
$$
I första steget adderade vi rad 1 multiplicerad med $-4$ till rad 2 och med $1$ till rad 3. I andra steget adderade vi rad 2 till rad 3. Om $a\ne-6$ har systemet ingen lösning. Om $a=-6$ har vi en fri variabel och lösningsmängden är en linje.
(b) Sätt $a=-6$ och fortsätt med Gausseliminering:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&-2&1&-1\\
0&1&2&7\\
0&0&0&0
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&0&5&13\\
0&1&2&7\\
0&0&0&0
\end{array}\right).
$$
Här adderade vi rad 2 multiplicerad med $2$ till rad 1. Variabeln $z$ är fri; sätt $z=t$. Lösningarna är
$$
(x,y,z)=(13,7,0)+t(-5,-2,1),\qquad t\in\mathbb R,
$$
vilket är linjen på parameterform.