Linjär algebra · 2026-02-07
Bestäm avbildningsmatrisen i standardbasen för den linjära avbildningen $T : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ vilken definieras av att vektorn $\mathbf{u}$ först avbildas på $\mathbf{v} \times \mathbf{u}$ där $\mathbf{v} = (-1, 1, 1)$ och därefter speglas i planet $x = y$.
Låt $\mathbf u=(a,b,c)$. Då är
$$
\mathbf v\times\mathbf u
=(-1,1,1)\times(a,b,c)
=\left(
\begin{vmatrix}1&1\\b&c\end{vmatrix},
-\begin{vmatrix}-1&1\\a&c\end{vmatrix},
\begin{vmatrix}-1&1\\a&b\end{vmatrix}
\right)
=(c-b,c+a,-b-a).
$$
Avbildningsmatrisen för denna avbildning i standardbasen är därför
$$
A=\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}.
$$
Om $\mathbf u=(a,b,c)$ speglas i planet $x=y$ får vi $(b,a,c)$, så avbildningsmatrisen för speglingen är
$$
B=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.
$$
Den sammansatta avbildningen har därför matris
$$
BA=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&-1&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}.
$$