Linjär algebra · 2026-02-07

Uppgift 5

Uppgift 5

(a)

Låt $T : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ vara en avbildning. Ge definitionen av vad det betyder för $T$ att vara en linjär avbildning.

(b)

Fixera vektorn $\mathbf{u} = (1, 0)$. Låt $T_1 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definieras genom

$$ T_1(\mathbf{v}) = 2\mathbf{v} + \mathbf{u}. $$

Bevisa eller motbevisa att $T_1$ är en linjär avbildning.

(c)

Fixera igen vektorn $\mathbf{u} = (1, 0)$. Låt $T_2 : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ definieras genom

$$ T_2(\mathbf{v}) = \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u}), $$

där $\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})$ betecknar den ortogonala projektionen av $\mathbf{u}$ på $\mathbf{v}$. Bevisa eller motbevisa att $T_2$ är en linjär avbildning.

Visa lösningDölj lösning

(a) Låt $T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ vara en avbildning. Av definitionen av linjäritet gäller
$$ T(\lambda\mathbf u)=\lambda T(\mathbf u),\qquad T(\mathbf u+\mathbf v)=T(\mathbf u)+T(\mathbf v) $$
för alla $\lambda\in\mathbb R$ och $\mathbf u,\mathbf v\in\mathbb R^2$.

(b) För $\mathbf u=(1,0)$ och $T_1(\mathbf v)=2\mathbf v+\mathbf u$ väljer vi $\mathbf w_1=(1,0)$ och $\mathbf w_2=(0,1)$. Då är
$$ T_1(\mathbf w_1+\mathbf w_2)=(3,2), $$
medan
$$ T_1(\mathbf w_1)+T_1(\mathbf w_2)=(3,0)+(1,2)=(4,2). $$
Alltså är $T_1$ inte linjär.

(c) För $\mathbf u=(1,0)$ definieras $T_2(\mathbf v)=\operatorname{proj}_{\mathbf v}(\mathbf u)$. Vi har
$$ T_2(\mathbf u)=\operatorname{proj}_{\mathbf u}(\mathbf u) =\frac{\mathbf u\cdot\mathbf u}{\lVert\mathbf u\rVert^2}\mathbf u =\mathbf u. $$
För $\lambda=2$ får vi däremot
$$ T_2(2\mathbf u) =\frac{\mathbf u\cdot(2\mathbf u)}{\lVert2\mathbf u\rVert^2}(2\mathbf u) =\mathbf u \ne2\mathbf u=2T_2(\mathbf u). $$
Alltså är $T_2$ inte linjär.