Uppgift 2

(a) Vi börjar med att beräkna determinanten för koefficientmatrisen:
$$ \det\begin{pmatrix} a&2&2\\ -1&a&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix} =a(a-1)-2\cdot0+2(a-1) =(a+2)(a-1). $$
Systemet har därför en unik lösning om och endast om $a\ne1,-2$.

(b) Antag först att $a\ne1,-2$ och tillämpa Gausseliminering på den utökade matrisen:
$$ \left(\begin{array}{cccc} a&2&2&4\\ -1&a&1&-1\\ -1&1&1&2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc} -1&a&1&-1\\ a&2&2&4\\ -1&1&1&2 \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc} -1&a&1&-1\\ 0&a^2+2&a+2&4-a\\ 0&1-a&0&3 \end{array}\right). $$
Därefter multiplicerar vi rad 2 med $1/(a^2+2)$ och eliminerar den andra komponenten i rad 3:
$$ \left(\begin{array}{cccc} -1&a&1&-1\\ 0&1&\frac{a+2}{a^2+2}&\frac{4-a}{a^2+2}\\ 0&0&\frac{(a-1)(a+2)}{a^2+2}&\frac{(2a+1)(a+2)}{a^2+2} \end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc} -1&a&1&-1\\ 0&1&\frac{a+2}{a^2+2}&\frac{4-a}{a^2+2}\\ 0&0&1&\frac{2a+1}{a-1} \end{array}\right). $$
Vi får
$$ z=\frac{2a+1}{a-1}, $$
och därefter
$$ y=\frac{4-a}{a^2+2} -\frac{a+2}{a^2+2}\frac{2a+1}{a-1} =-\frac3{a-1}, $$
samt
$$ x=1-\frac{3a}{a-1}+\frac{2a+1}{a-1}=0. $$
Lösningen är alltså
$$ (x,y,z)=\left(0,-\frac3{a-1},\frac{2a+1}{a-1}\right). $$

För de övriga värdena av $a$ betraktar vi fallen $a=1$ och $a=-2$.

Om $a=1$ får vi systemet
$$ x+2y+2z=4,\qquad -x+y+z=-1,\qquad -x+y+z=2. $$
Den andra och tredje ekvationen motsäger varandra, så det finns ingen lösning.

Om $a=-2$ får vi
$$ -2x+2y+2z=4,\qquad -x-2y+z=-1,\qquad -x+y+z=2. $$
Den första och tredje ekvationen är likvärdiga, så systemet förenklas till
$$ x-y-z=-2,\qquad x+2y-z=1. $$
Subtraktion av den första ekvationen från den andra ger
$$ 3y=3. $$
Sätt $z=t$. Då är $y=1$ och $x=-1+t$. När $a=-2$ är alltså den generella lösningen
$$ (x,y,z)=(-1+t,1,t),\qquad t\in\mathbb R.$$