MM2001 · Linjär algebra
Bestäm om följande mängd vektorer är linjärt oberoende:
$$ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 7 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 6 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}. $$
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 5 & -2 \\ 1 & -5 & 4 \\ 3 & 4 & 4 \end{pmatrix}. $$
Bestäm $\det(A^5)$.
(a) Fyra vektorer i $\mathbb R^3$ är alltid linjärt beroende. Mängden är alltså inte linjärt oberoende.
(b) För
$$
A=\begin{pmatrix}0&5&-2\\1&-5&4\\3&4&4\end{pmatrix}
$$
har vi $\det(A)=2$. Därför är
$$
\det(A^5)=\det(A)^5=2^5=32.
$$
Betrakta följande ekvationssystem, där koefficienterna beror på en parameter $a$:
$$ \begin{cases} ax + 2y + 2z = 4, \\ -x + ay + z = -1, \\ -x + y + z = 2. \end{cases} $$
Bestäm för vilka $a$ systemet har en unik lösning och skriv en formel för lösningen som en funktion av $a$.
För alla andra värden på $a$, bestäm mängden av lösningar.
(a) Vi börjar med att beräkna determinanten för koefficientmatrisen:
$$
\det\begin{pmatrix}
a&2&2\\
-1&a&1\\
-1&1&1
\end{pmatrix}
=a(a-1)-2\cdot0+2(a-1)
=(a+2)(a-1).
$$
Systemet har därför en unik lösning om och endast om $a\ne1,-2$.
(b) Antag först att $a\ne1,-2$ och tillämpa Gausseliminering på den utökade matrisen:
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a&2&2&4\\
-1&a&1&-1\\
-1&1&1&2
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{cccc}
-1&a&1&-1\\
a&2&2&4\\
-1&1&1&2
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{cccc}
-1&a&1&-1\\
0&a^2+2&a+2&4-a\\
0&1-a&0&3
\end{array}\right).
$$
Därefter multiplicerar vi rad 2 med $1/(a^2+2)$ och eliminerar den andra komponenten i rad 3:
$$
\left(\begin{array}{cccc}
-1&a&1&-1\\
0&1&\frac{a+2}{a^2+2}&\frac{4-a}{a^2+2}\\
0&0&\frac{(a-1)(a+2)}{a^2+2}&\frac{(2a+1)(a+2)}{a^2+2}
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{cccc}
-1&a&1&-1\\
0&1&\frac{a+2}{a^2+2}&\frac{4-a}{a^2+2}\\
0&0&1&\frac{2a+1}{a-1}
\end{array}\right).
$$
Vi får
$$
z=\frac{2a+1}{a-1},
$$
och därefter
$$
y=\frac{4-a}{a^2+2}
-\frac{a+2}{a^2+2}\frac{2a+1}{a-1}
=-\frac3{a-1},
$$
samt
$$
x=1-\frac{3a}{a-1}+\frac{2a+1}{a-1}=0.
$$
Lösningen är alltså
$$
(x,y,z)=\left(0,-\frac3{a-1},\frac{2a+1}{a-1}\right).
$$
För de övriga värdena av $a$ betraktar vi fallen $a=1$ och $a=-2$.
Om $a=1$ får vi systemet
$$
x+2y+2z=4,\qquad -x+y+z=-1,\qquad -x+y+z=2.
$$
Den andra och tredje ekvationen motsäger varandra, så det finns ingen lösning.
Om $a=-2$ får vi
$$
-2x+2y+2z=4,\qquad -x-2y+z=-1,\qquad -x+y+z=2.
$$
Den första och tredje ekvationen är likvärdiga, så systemet förenklas till
$$
x-y-z=-2,\qquad x+2y-z=1.
$$
Subtraktion av den första ekvationen från den andra ger
$$
3y=3.
$$
Sätt $z=t$. Då är $y=1$ och $x=-1+t$. När $a=-2$ är alltså den generella lösningen
$$
(x,y,z)=(-1+t,1,t),\qquad t\in\mathbb R.$$
Hitta avståndet mellan linjerna $(2, -1, 3) + t(1, 2, 2)$ och $(1, -2, 0) + t(-2, 1, -1)$.
Bestäm ekvationen för linjen som är ortogonal med både linjen i del (a), och passerar genom origo.
(a) En vektor från en allmän punkt på den första linjen till en allmän punkt på den andra linjen är
$$
[(1,-2,0)+s(-2,1,-1)]-[(2,-1,3)+t(1,2,2)]
=(-1-2s-t,-1+s-2t,-3-s-2t).
$$
Längden minimeras när denna vektor är ortogonal mot båda linjernas riktningsvektorer $(1,2,2)$ och $(-2,1,-1)$. Därför får vi
$$
\begin{aligned}
1(-1-2s-t)+2(-1+s-2t)+2(-3-s-2t)&=0,\\
-2(-1-2s-t)+(-1+s-2t)-(-3-s-2t)&=0.
\end{aligned}
$$
Detta förenklas till
$$
-2s-9t=9,\qquad 6s+2t=-4.
$$
Lösningen är $s=-9/25$ och $t=-23/25$. Vektorn mellan de två närmaste punkterna är
$$
\frac4{25}(4,3,-5),
$$
så avståndet mellan linjerna är
$$
\frac45\sqrt2.
$$
(b) En riktningsvektor för en linje som är ortogonal mot båda linjerna i del (a) är exempelvis $(4,3,-5)$, eftersom den är ortogonal mot $(1,2,2)$ och $(-2,1,-1)$. Eftersom linjen går genom origo har den parameterform
$$
(x,y,z)=t(4,3,-5)=(4t,3t,-5t),\qquad t\in\mathbb R.$$
Från punkten $P = (2, -3, 1)$ dras normallinjer till de båda planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ som har ekvationerna $x - y + 5z = 7$ och $y - 2z = 3$. Ett plan $\Pi_3$ innehåller de båda normala linjerna.
Hitta ekvationen för planet $\Pi_3$.
Bestäm skärningspunkten mellan $\Pi_1$, $\Pi_2$ och $\Pi_3$.
(a) Normalvektorerna till planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ är $(1,-1,5)$ respektive $(0,1,-2)$. Båda vektorerna är parallella med $\Pi_3$, och punkten $P=(2,-3,1)$ ligger i $\Pi_3$. En parametrisk ekvation för planet är därför
$$
(2,-3,1)+s(1,-1,5)+t(0,1,-2)
=(2+s,-3-s+t,1+5s-2t).
$$
En normalvektor till $\Pi_3$ fås genom
$$
(1,-1,5)\times(0,1,-2)=(-3,2,1).
$$
Alltså är planets ekvation
$$
-3x+2y+z=-3\cdot2+2(-3)+1=-11.
$$
(b) För att hitta skärningspunkten löser vi
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad -3x+2y+z=-11.
$$
Vi adderar tre gånger den första ekvationen till den tredje och får
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad -y+16z=10.
$$
Därefter adderar vi den andra ekvationen till den tredje:
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad 14z=13.
$$
Alltså är
$$
z=\frac{13}{14},\qquad y=\frac{34}{7},\qquad x=\frac{101}{14},
$$
och skärningspunkten är
$$
\left(\frac{101}{14},\frac{34}{7},\frac{13}{14}\right).$$
Låt $\mathbf{u} = (2, 1, -1)$.
Hitta två nollskilda vektorer $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ sådant att $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, och $\mathbf{w}$ är ortogonala med varandra.
Förklara varför mängden $A = \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ bildar en bas för $\mathbb{R}^3$.
Hitta koordinaterna av vektorn $(4, 5, 2)$ respektive basen $A$.
(a) Det finns många vektorer som är ortogonala mot $(2,1,-1)$. Vi kan till exempel välja
$$
\mathbf v=(0,1,1).
$$
För att hitta en vektor $\mathbf w$ som är ortogonal mot både $\mathbf u=(2,1,-1)$ och $\mathbf v$ beräknar vi
$$
\mathbf u\times\mathbf v
=\det\begin{pmatrix}
\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\
2&1&-1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
=(2,-2,2).
$$
Vi kan dividera med $2$ och välja
$$
\mathbf w=(1,-1,1).
$$
(b) En mängd av tre vektorer i $\mathbb R^3$ bildar en bas om och endast om den är linjärt oberoende. En mängd av nollskilda vektorer som är ortogonala mot varandra är linjärt oberoende. Därför bildar
$$
A=\{\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\}
$$
en bas för $\mathbb R^3$.
(c) Eftersom $A$ är en ortogonal bas har vi
$$
\begin{aligned}
(4,5,2)
&=\frac{(4,5,2)\cdot(2,1,-1)}{(2,1,-1)\cdot(2,1,-1)}(2,1,-1)
+\frac{(4,5,2)\cdot(0,1,1)}{(0,1,1)\cdot(0,1,1)}(0,1,1)\\
&\quad+\frac{(4,5,2)\cdot(1,-1,1)}{(1,-1,1)\cdot(1,-1,1)}(1,-1,1)\\
&=\frac{11}{6}(2,1,-1)+\frac72(0,1,1)+\frac13(1,-1,1).
\end{aligned}
$$
Koordinaterna för $(4,5,2)$ relativt basen $A$ är
$$
\left(\frac{11}{6},\frac72,\frac13\right).$$