Uppgift 3

(a) En vektor från en allmän punkt på den första linjen till en allmän punkt på den andra linjen är
$$ [(1,-2,0)+s(-2,1,-1)]-[(2,-1,3)+t(1,2,2)] =(-1-2s-t,-1+s-2t,-3-s-2t). $$
Längden minimeras när denna vektor är ortogonal mot båda linjernas riktningsvektorer $(1,2,2)$ och $(-2,1,-1)$. Därför får vi
$$ \begin{aligned} 1(-1-2s-t)+2(-1+s-2t)+2(-3-s-2t)&=0,\\ -2(-1-2s-t)+(-1+s-2t)-(-3-s-2t)&=0. \end{aligned} $$
Detta förenklas till
$$ -2s-9t=9,\qquad 6s+2t=-4. $$
Lösningen är $s=-9/25$ och $t=-23/25$. Vektorn mellan de två närmaste punkterna är
$$ \frac4{25}(4,3,-5), $$
så avståndet mellan linjerna är
$$ \frac45\sqrt2. $$

(b) En riktningsvektor för en linje som är ortogonal mot båda linjerna i del (a) är exempelvis $(4,3,-5)$, eftersom den är ortogonal mot $(1,2,2)$ och $(-2,1,-1)$. Eftersom linjen går genom origo har den parameterform
$$ (x,y,z)=t(4,3,-5)=(4t,3t,-5t),\qquad t\in\mathbb R.$$