Linjär algebra · 2026-05-27
Från punkten $P = (2, -3, 1)$ dras normallinjer till de båda planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ som har ekvationerna $x - y + 5z = 7$ och $y - 2z = 3$. Ett plan $\Pi_3$ innehåller de båda normala linjerna.
Hitta ekvationen för planet $\Pi_3$.
Bestäm skärningspunkten mellan $\Pi_1$, $\Pi_2$ och $\Pi_3$.
(a) Normalvektorerna till planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$ är $(1,-1,5)$ respektive $(0,1,-2)$. Båda vektorerna är parallella med $\Pi_3$, och punkten $P=(2,-3,1)$ ligger i $\Pi_3$. En parametrisk ekvation för planet är därför
$$
(2,-3,1)+s(1,-1,5)+t(0,1,-2)
=(2+s,-3-s+t,1+5s-2t).
$$
En normalvektor till $\Pi_3$ fås genom
$$
(1,-1,5)\times(0,1,-2)=(-3,2,1).
$$
Alltså är planets ekvation
$$
-3x+2y+z=-3\cdot2+2(-3)+1=-11.
$$
(b) För att hitta skärningspunkten löser vi
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad -3x+2y+z=-11.
$$
Vi adderar tre gånger den första ekvationen till den tredje och får
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad -y+16z=10.
$$
Därefter adderar vi den andra ekvationen till den tredje:
$$
x-y+5z=7,\qquad y-2z=3,\qquad 14z=13.
$$
Alltså är
$$
z=\frac{13}{14},\qquad y=\frac{34}{7},\qquad x=\frac{101}{14},
$$
och skärningspunkten är
$$
\left(\frac{101}{14},\frac{34}{7},\frac{13}{14}\right).$$