Linjär algebra · 2026-05-27
Låt $\mathbf{u} = (2, 1, -1)$.
Hitta två nollskilda vektorer $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ sådant att $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, och $\mathbf{w}$ är ortogonala med varandra.
Förklara varför mängden $A = \{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}$ bildar en bas för $\mathbb{R}^3$.
Hitta koordinaterna av vektorn $(4, 5, 2)$ respektive basen $A$.
(a) Det finns många vektorer som är ortogonala mot $(2,1,-1)$. Vi kan till exempel välja
$$
\mathbf v=(0,1,1).
$$
För att hitta en vektor $\mathbf w$ som är ortogonal mot både $\mathbf u=(2,1,-1)$ och $\mathbf v$ beräknar vi
$$
\mathbf u\times\mathbf v
=\det\begin{pmatrix}
\mathbf e_1&\mathbf e_2&\mathbf e_3\\
2&1&-1\\
0&1&1
\end{pmatrix}
=(2,-2,2).
$$
Vi kan dividera med $2$ och välja
$$
\mathbf w=(1,-1,1).
$$
(b) En mängd av tre vektorer i $\mathbb R^3$ bildar en bas om och endast om den är linjärt oberoende. En mängd av nollskilda vektorer som är ortogonala mot varandra är linjärt oberoende. Därför bildar
$$
A=\{\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w\}
$$
en bas för $\mathbb R^3$.
(c) Eftersom $A$ är en ortogonal bas har vi
$$
\begin{aligned}
(4,5,2)
&=\frac{(4,5,2)\cdot(2,1,-1)}{(2,1,-1)\cdot(2,1,-1)}(2,1,-1)
+\frac{(4,5,2)\cdot(0,1,1)}{(0,1,1)\cdot(0,1,1)}(0,1,1)\\
&\quad+\frac{(4,5,2)\cdot(1,-1,1)}{(1,-1,1)\cdot(1,-1,1)}(1,-1,1)\\
&=\frac{11}{6}(2,1,-1)+\frac72(0,1,1)+\frac13(1,-1,1).
\end{aligned}
$$
Koordinaterna för $(4,5,2)$ relativt basen $A$ är
$$
\left(\frac{11}{6},\frac72,\frac13\right).$$