Hela analys · 2014-05-21

Uppgift 1

Uppgift 1

Betrakta funktionen
$$f(x)=e^{x+\frac1x},\qquad x\ne0.$$

(a)

Ange lokala extrempunkter och eventuella asymptoter. Skissera grafen till funktionen $f$.
OBS: Konvexitetsegenskaper behöver ej utredas! Var särskilt noga med din skiss nära $x=0$.

(b)

Bestäm för varje värde på $a\in\mathbb{R}$ antalet lösningar till ekvationen
$$e^{x+\frac1x}=a.$$
Använd gärna dina beräkningar från deluppgift (a).

Visa lösningDölj lösning

(a) För $f(x)=e^{x+1/x}$ är $$f'(x)=e^{x+1/x}\left(1-\frac1{x^2}\right).$$ Lokalt maximum är $(-1,e^{-2})$ och lokalt minimum $(1,e^2)$. Asymptoterna är $y=0$ då $x\to-\infty$ och $x=0$ då $x\to0^+$. (b) Ekvationen $f(x)=a$ har inga lösningar för $a\le0$ eller $e^{-2}<a<e^2$, en lösning för $a=e^{-2},e^2$, och två lösningar för $0<a<e^{-2}$ eller $a>e^2$.