MM2001 · Hela analys
Betrakta funktionen
$$f(x)=e^{x+\frac1x},\qquad x\ne0.$$
Ange lokala extrempunkter och eventuella asymptoter. Skissera grafen till funktionen $f$.
OBS: Konvexitetsegenskaper behöver ej utredas! Var särskilt noga med din skiss nära $x=0$.
Bestäm för varje värde på $a\in\mathbb{R}$ antalet lösningar till ekvationen
$$e^{x+\frac1x}=a.$$
Använd gärna dina beräkningar från deluppgift (a).
(a) För $f(x)=e^{x+1/x}$ är $$f'(x)=e^{x+1/x}\left(1-\frac1{x^2}\right).$$ Lokalt maximum är $(-1,e^{-2})$ och lokalt minimum $(1,e^2)$. Asymptoterna är $y=0$ då $x\to-\infty$ och $x=0$ då $x\to0^+$. (b) Ekvationen $f(x)=a$ har inga lösningar för $a\le0$ eller $e^{-2}<a<e^2$, en lösning för $a=e^{-2},e^2$, och två lösningar för $0<a<e^{-2}$ eller $a>e^2$.
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D\frac{1}{(2x-y+10)^2}\,dx\,dy$$
där $D$ är området $\{(x,y)\mid 1\le y\le5-x^2\}$.
OBS: $\arctan\frac12$ eller $\arctan\frac32$ behöver ej förenklas i svaret.
$$\iint_D\frac1{(2x-y+10)^2}\,dxdy=\frac12\left(\arctan\frac32+\arctan\frac12-\ln\frac{13}{5}\right)=\frac12\left(\arctan8-\ln\frac{13}{5}\right).$$
Lös begynnelsevärdesproblemet
$$y'=\frac{x}{y-1},\qquad y(0)=0$$
och ange lösningen på explicit form, dvs på formen $y(x)=\dots$.
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
$$y''+2y'+5y=10x.$$
(a) Separation ger $(y-1)^2=x^2+1$, och begynnelsevillkoret väljer $$y=1-\sqrt{x^2+1}.$$ (b) Den allmänna lösningen är $$y=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)+2x-\frac45.$$
Bestäm största och minsta värde av funktionen
$$F(x,y)=x^3+xy^2+y$$
då $x^2+y^2\le1$ och $x\ge0$.
På randen och i det inre fås kandidaterna $-1,1,\sqrt2$. Alltså är största värdet $\sqrt2$ och minsta värdet $-1$.
Betrakta funktionen
$$g(x)=3(x-x^2)e^x+(x^2-3)\sin x.$$
Bestäm Maclaurinpolynomet $p_4(x)$ av ordning 4 till till $g$.
Ange $g^{(3)}(0)$.
Beräkna
$$\lim_{x\to0}\frac{3(x-x^2)e^x+(x^2-3)\sin x}{(e^x-1)^2\sin^2 x}.$$
(a) Serieutveckling ger $g(x)=-x^4+O(x^5)$, alltså $p_4(x)=-x^4$. (b) $g^{(3)}(0)=0$. (c) Eftersom $(e^x-1)^2\sin^2x=x^4+O(x^5)$ är gränsvärdet $-1$.
Längden av funktionskurvan $y=f(x)$, $a\le x\le b$ ges av en av följande formler. Vilken?
$$L=\pi\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\qquad L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\qquad L=\int_a^b\sqrt{1-(f'(x))^2}\,dx$$
Beräkna längden av kurvan $y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $-1\le x\le1$.
(a) Kurvlängden är $L=\int_a^b\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$. (b) För $y=(e^x+e^{-x})/2$ blir integranden samma funktion, och $$L=\int_{-1}^1\frac{e^x+e^{-x}}2dx=e-e^{-1}.$$