Hela analys · 2020-12-17

Uppgift 2

Hela tentan
Uppgift 2
(a)

Beräkna volymen av den rotationskropp som erhålls om det ändliga område som begränsas av $x$-axeln, kurvan $y=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$ och linjen $x=\sqrt{e}$ roterar kring $x$-axeln.

(b)

Avgör om den generaliserade integralen $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln(3x))^2}$ är divergent eller konvergent, och ange i så fall dess värde.

Visa lösningDölj lösning

a) Volymen är
$$\pi\int_1^{\sqrt e}\frac{(\ln x)^2}{x}dx=\frac\pi{24}.$$

b) $-1/\ln(3x)$ är en primitiv funktion. Därför är integralen konvergent och har värdet $1/\ln6$.

Figur