Uppgift 1
(a)
Beräkna gränsvärdet $\lim_{x\to\infty}\left(x-\sqrt{x^2+x}\right)$.
(b)
Beräkna gränsvärdet
$$\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-(\arctan(x))^2-1}{x^4}.$$
MM2001 · Hela analys
Tenta 2020-12-17
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Konjugatförlängning ger
$$\lim_{x\to\infty}(x-\sqrt{x^2+x})=-\frac12.$$
b) Maclaurinutvecklingar ger $e^{x^2}-(\arctan x)^2-1=\frac76x^4+O(x^6)$, så gränsvärdet är $\frac76$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Beräkna volymen av den rotationskropp som erhålls om det ändliga område som begränsas av $x$-axeln, kurvan $y=\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}$ och linjen $x=\sqrt{e}$ roterar kring $x$-axeln.
(b)
Avgör om den generaliserade integralen $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln(3x))^2}$ är divergent eller konvergent, och ange i så fall dess värde.
Visa lösningDölj lösning
a) Volymen är
$$\pi\int_1^{\sqrt e}\frac{(\ln x)^2}{x}dx=\frac\pi{24}.$$
b) $-1/\ln(3x)$ är en primitiv funktion. Därför är integralen konvergent och har värdet $1/\ln6$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Undersök lokala och globala extremvärden, konvexitetsegenskaper och asymptoter till funktionen
$$f(x)=\frac{\lvert 2x-1\rvert-x^2}{x^2-1},$$
samt skissera grafen.
Visa lösningDölj lösning
Den kontinuerliga utvidgningen har lodrät asymptot $x=-1$ och vågrät asymptot $y=-1$. Funktionen har lokalt maximum $f(1/2)=1/3$ och inflektionspunkt $(0,-1)$. Den är konkav på $(-1,0)$ och konvex på $(-\infty,-1)$, $(0,1/2)$ och $(1/2,\infty)$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D ye^{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy$, där
$$D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 4,\ x\le y\}.$$
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater är $0\leq r\leq2$ och $\pi/4\leq\theta\leq5\pi/4$. Alltså
$$\iint_Dye^{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy=\sqrt2\int_0^2r^2e^rdr=2\sqrt2(e^2-1).$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde till funktionen $f(x,y)=x^2-3x+y^2+3y$ i området $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2\le 8\}$. Ange även i vilka punkter respektive extremvärde antas.
Visa lösningDölj lösning
Den inre punkten $(3/2,-3/2)$ ger värdet $-9/2$. På randen $x^2+y^2=8$ fås kandidaterna $(-2,2)$ och $(2,-2)$ med värdena $20$ respektive $-4$. Alltså är minimum $-9/2$ och maximum $20$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Bestäm den lösning till differentialekvationen $2e^{-x}y'-y^3=0$ som uppfyller villkoret $y(0)=1/2$. Vilket är det största intervall som lösningen är definierad på?
Visa lösningDölj lösning
Separation ger $y^{-3}y'=\frac12e^x$ och således $1/y^2=5-e^x$ från begynnelsevillkoret. Den efterfrågade lösningen är
$$y(x)=\frac1{\sqrt{5-e^x}},qquad x<\ln5.$$