MM2001 · Tidigare tentor

Linjär algebra · 2025-05-28

Uppgift 2

Hela tentan
Per Alexandersson Linjära ekvationssystemVektorrum och baserModelleringLösning
Uppgift 2
Damerna Agda, Berit, Ester och Gerd har sina traditionella recept för en burk kakbas (se tabell). Gerd har inte orkat handla och hennes burk är tom. Kan Gerd ta av sina tre vänners burkar med kakbas och blanda till sitt recept? Hur mycket från Agda, Berit och Esters burkar ska hon i så fall ta?
Tips: Skriv Gerds recept som en linjärkombination av hennes vänners recept.
Namn Mjöl (dl)Socker (dl)Bakpulver (tsk)
Agda524
Berit856
Ester632
Gerd634
Visa lösningDölj lösning
Varje recept för en kakbas skriver vi som en vektor: \[ \vvec_A=(5,2,4),\qquad \vvec_B=(8,5,6),\qquad \vvec_E=(6,3,2),\qquad \vvec_G=(6,3,4). \] Vi söker tal $x,y,z$ sådana att \[ x\vvec_A+y\vvec_B+z\vvec_E=\vvec_G. \] Gausseliminering ger \[ \left[ \begin{array}{rrr|r} 5&8&6&6\\ 2&5&3&3\\ 4&6&2&4 \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{rrr|r} 1&0&0&\tfrac12\\ 0&1&0&\tfrac14\\ 0&0&1&\tfrac14 \end{array} \right]. \] Alltså finns en unik lösning: \[ \vvec_G=\frac12\vvec_A+\frac14\vvec_B+\frac14\vvec_E. \] Gerd ska därför ta hälften av Agdas burk och en fjärdedel av vardera Berits och Esters burkar.
Figur