Linjär algebra · 2026-01-08
Låt $\mathbf{u} = (1, 2, -1, 3)$, $\mathbf{v} = (3, 4, -3, 1)$, $\mathbf{w} = (-4, -3, 4, 8)$ vara vektorer i $\mathbb{R}^4$.
Avgör om vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ är linjärt oberoende.
Avgör om vektorn $\mathbf{t} = (1, 1, -1, 1)$ i $\mathbb{R}^4$ är en linjärkombination av $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$.
(a) Vektorerna $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$ är linjärt oberoende om och endast om ekvationen
$$
\lambda\mathbf u+\mu\mathbf v+\nu\mathbf w=\mathbf0
$$
endast har lösningen $\lambda=\mu=\nu=0$. Gausseliminering ger
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&0\\
2&4&-3&0\\
-1&-3&4&0\\
3&1&8&0
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&0\\
0&-2&5&0\\
0&0&0&0\\
0&-8&20&0
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&0\\
0&-2&5&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0
\end{array}\right).
$$
Det finns två pivotvariabler och en fri variabel, så ekvationen har oändligt många lösningar. Vektorerna är därför linjärt beroende.
(b) För att avgöra om $\mathbf t=(1,1,-1,1)$ är en linjärkombination använder vi samma eliminering:
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&1\\
2&4&-3&1\\
-1&-3&4&-1\\
3&1&8&1
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&1\\
0&-2&5&-1\\
0&0&0&0\\
0&-8&20&-2
\end{array}\right)
\sim
\left(\begin{array}{ccc|c}
1&3&-4&1\\
0&-2&5&-1\\
0&0&0&0\\
0&0&0&2
\end{array}\right).
$$
Den sista ekvationen kan aldrig uppfyllas. Det finns alltså inga lösningar, och $\mathbf t$ är inte en linjärkombination av $\mathbf u,\mathbf v,\mathbf w$.