Uppgift 1
Lös rotekvationen $\sqrt{2x + 3} + \sqrt{x + 1} = 1$.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2012-05-02
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Efter kvadrering fås $x^2-2x-3=0$, med kandidaterna $3$ och $-1$. Endast $x=-1$ uppfyller ursprungsekvationen.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm avståndet från punkten $(-1, 1, 1)$ till den linje som går genom punkterna $(1, 2, 3)$ och $(2, 1, 1)$. (ON-system).
Visa lösningDölj lösning
Linjen har riktningsvektor $\mathbf v=(-1,1,2)$. Närmaste punkten är $(1,2,3)+t\mathbf v$, och ortogonalitet mot $(-1,1,1)$ ger $t=-1/2$. Avståndet är $$\sqrt{(5/2)^2+(1/2)^2+1^2}=\frac{\sqrt{30}}2.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
(a)
På hur många sätt kan man permutera sju olika bokstäver?
(b)
Hur många olika ord kan man bilda genom att permutera bokstäverna i ordet ELEFANT?
(c)
Hur många sådana ord innehåller inte bokstavskombinationen FAN?
Visa lösningDölj lösning
(a) Sju olika symboler kan ordnas på $7!=5040$ sätt.
(b) Byte av de två $E$-symbolerna ändrar inte ordet, så antalet är $7!/2=2520$.
(c) Ord med följden FAN fås genom att permutera fem objekt; de är $5!/2=60$. Antalet utan FAN är $2520-60=2460$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Betrakta en regelbunden sexhörning $ABCDEF$ (hörnen ordnade moturs). Vektorerna $\mathbf{e}_1 = \overrightarrow{AB}$ och $\mathbf{e}_2 = \overrightarrow{AF}$ utgör en bas och vektorerna $\mathbf{f}_1 = \overrightarrow{AC}$ och $\mathbf{f}_2 = \overrightarrow{AD}$ en annan.
(a)
Uttryck vektorerna $\mathbf{f}_1$ och $\mathbf{f}_2$ i vektorerna $\mathbf{e}_1$ och $\mathbf{e}_2$, samt ange basbytesmatrisen mellan de två baserna.
(b)
Bestäm koordinaterna i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2)$ för den vektor som i basen $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ har koordinaterna $(7, 3)$, samt koordinaterna i basen $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ för den vektor som i basen $(\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2)$ har koordinaterna $(4, 11)$.
Visa lösningDölj lösning
I basen $(\mathbf e_1,\mathbf e_2)$ gäller $$\mathbf f_1=2\mathbf e_1+\mathbf e_2,\qquad\mathbf f_2=2\mathbf e_1+2\mathbf e_2.$$ Basbytesmatrisen är $T=\begin{pmatrix}2&2\\1&2\end{pmatrix}$. Därav fås $[ (7,3)]_{\mathbf f}=(4,-1/2)$ och vektorn med $\mathbf f$-koordinater $(4,11)$ har $\mathbf e$-koordinater $(30,26)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Beräkna summan
$$\sum_{k=0}^{56}\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\right)^k.$$
Visa lösningDölj lösning
Sätt $c=(1+i)/\sqrt2=e^{i\pi/4}$. Summan är en geometrisk serie: $$\sum_{k=0}^{56}c^k=\frac{1-c^{57}}{1-c}=1,$$ eftersom $c^{56}=1$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Betrakta matrisen
$$A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
(a)
Gissa en formel för $A^n$ ($n$ positivt heltal).
(b)
Bevisa denna med induktion.
(c)
$A$ definierar en linjär avbildning $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ genom matrismultiplikation. För vilka $a\in\mathbb{R}$ och $\mathbf{X}\in\mathbb{R}^2$ gäller att $\mathbf{X}$ och $A\mathbf{X}$ tillsammans utgör en bas för $\mathbb{R}^2$?
Visa lösningDölj lösning
(a) Induktion ger $$A^n=\begin{pmatrix}1&na\\0&1\end{pmatrix}.$$
(b) Om $X=(x_1,x_2)$ har vektorerna $X$ och $AX$ determinant $-ax_2^2$. De är en bas precis när $a\ne0$ och $x_2\ne0$.