Uppgift 1
Finn alla heltalslösningar till $22x\equiv 8\pmod{26}$. Förklara även varför $22x\equiv 1\pmod{26}$ saknar heltalslösning.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2014-06-09
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
$22x\equiv8\pmod{26}$ är ekvivalent med $11x-13y=4$. En lösning är $(x,y)=(11,9)$, så
$$x=11+13k,\qquad y=9+11k,\qquad k\in\mathbb Z.$$
Alltså $x\equiv11$ eller $24\pmod{26}$. Ekvationen $22x\equiv1\pmod{26}$ saknar lösning eftersom vänsterledet alltid är jämnt.
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Lista alla delmängder till $\{1, 2, 3, 4\}$.
(b)
Hur många delmängder har $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$? Motivera ditt svar. För full poäng måste du svara i uträknad form.
Visa lösningDölj lösning
(a) Delmängderna är $\varnothing$, de fyra enmängderna, de sex tvåmängderna, de fyra tremängderna och $\{1,2,3,4\}$. (b) Varje av de tio elementen väljs in eller ut oberoende, så antalet är $2^{10}=1024$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Rita i det komplexa talplanet följande mängder:
(a)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z - 1\rvert\le 1\}\cup\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Arg} z = \pi/4\}$,
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} z + \operatorname{Im} z = 2\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{Re} z - \operatorname{Im} z = 0\}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Mängden är den slutna cirkelskivan med centrum $1$ och radie $1$, tillsammans med strålen från origo med argument $\pi/4$ i första kvadranten. (b) Linjerna skär varandra i $1+i$, så snittet är $\{1+i\}$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Finn alla reella tal $a$, $b$ och $c$ sådana att de tre vektorerna $(-\frac{8}{10}, -\frac{6}{10}, a)$, $(0, b, 1)$ och $(c, \frac{8}{10}, 0)$ bildar en ON-bas för rummet. Ordna sedan vektorerna så att de bildar en positivt orienterad bas. (Alla koordinater är angivna i standardbasen, som alltså är positivt orienterad och ortonormal.)
Visa lösningDölj lösning
Normering ger $a=b=0$ och $c=\pm6/10$. Ortogonaliteten mellan första och tredje vektorn ger $c=-6/10$. Med
$$v_1=(-4/5,-3/5,0),\quad v_2=(0,0,1),\quad v_3=(-3/5,4/5,0)$$
är $v_1\times v_2=v_3$, så ordningarna $(v_1,v_2,v_3)$ och dess cykliska permutationer är positivt orienterade.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Låt $\ell_1$ och $\ell_2$ vara två parallella linjer i rummet med gemensam riktningsvektor $(1, 0, 1)$, sådana att $\ell_1$ passerar genom punkten $(1, 1, 0)$ och $\ell_2$ passerar genom punkten $(2, 1, 0)$. Låt $\Pi$ vara planet som innehåller dessa två linjer. Låt $\Pi'$ vara planet med normalform $y = 3$. Avgör om $\Pi$ och $\Pi'$ är parallella. Bestäm även avståndet från $\Pi$ till $\Pi'$.
Visa lösningDölj lösning
En normal till båda planen är $(0,1,0)$. Planen är parallella och en vinkelrät förbindelse går från $(0,1,0)$ till $(0,3,0)$. Avståndet är därför $2$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $\mathbf{u} = (2, 0, 1)$ och $\mathbf{v} = (1, 1, 0)$. Dessa vektorer är angivna i en positivt orienterad ON-bas $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$. Låt $\Pi$ vara planet genom origo som spänns upp av $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ och som alltså har normalvektor $\mathbf{n} = \mathbf{u}\times\mathbf{v}$.
(a)
Bestäm matrisen för spegling i $\Pi$ uttryckt i basen $(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{n})$. (Ledning: det behövs inga omfattande räkningar; du behöver bilderna av de tre basvektorerna och dessa kan du i detta fall se geometriskt.)
(b)
Bestäm matrisen för spegling i $\Pi$ uttryckt i basen $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) I basen $(u,v,n)$ är speglingen $\operatorname{diag}(1,1,-1)$. (b) Här är $n=u\times v=(-1,1,2)$ och
$$B=\begin{pmatrix}2&1&-1\\0&1&1\\1&0&2\end{pmatrix}.$$
I standardbasen blir speglingens matris
$$BAB^{-1}=\frac13\begin{pmatrix}2&1&2\\1&2&-2\\2&-2&-1\end{pmatrix}.$$