MM2001 · Hela algebra
Rita följande mängder:
$\{x\in\mathbb{R}\mid x^2 - 4x + 3 < 0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid x^2 + 12 = 7x\}$. (Anm.: Ett tryckfel korrigerat i skrivsalen.)
$\{z\in\mathbb{C}\mid\lvert z - i\rvert = 2\}$.
$\{(x, y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2 - 2x - y^2 + 2y = 0\}$.
(a) Första mängden är det öppna intervallet $(1,3)$ och den andra är $\{3,4\}$. Deras snitt är tomt.
(b) $|z-i|=2$ är cirkeln med centrum $i$ och radie $2$.
(c) $x^2-2x-y^2+2y=0$ är ekvivalent med $(x-1)^2=(y-1)^2$. Mängden består av linjerna $x-y=0$ och $x+y=2$.
Lös (fullständigt) ekvationssystemet
$$\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 3x_3 - 4x_4 = 2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 - 2x_4 = -2 \\ 3x_1 - 2x_2 + 5x_3 - 8x_4 = -2 \\ 3x_1 + 2x_2 + 7x_3 - 10x_4 = 2. \end{cases}$$
Gausselimination ger två fria parametrar. Med $x_3=s$ och $x_4=t$ blir $$ (x_1,x_2,x_3,x_4)=left(3t-2s,,1+\frac12(t-s),,s,,t ight).$$
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.$$
Gausselimination av den utökade matrisen $[Amid I]$ ger $$A^{-1}=\begin{pmatrix}4&-2&1\\-5&3&-2\\2&-1&1\end{pmatrix}.$$
Bestäm avståndet mellan planen $x + y + z = 1$ och $(x, y, z) = (2, 2, 2) + t(1, 2, -3) + s(1, -1, 0)$ (ON-system).
Det andra planet har normalvektorn $(1,2,-3)\times(1,-1,0)=(-3,-3,-3)$, så planen är parallella och normalen kan parametriseras som $(t,t,t)$. Den skär planen i $(1/3,1/3,1/3)$ respektive $(2,2,2)$. Avståndet är därför $$\left\lVert(5/3,5/3,5/3)\right\rVert=\frac{5\sqrt3}{3}.$$
Vektorn $\mathbf{u}$ har längd $2$, vektorn $\mathbf{v}$ har längd $3$, och vektorn $\mathbf{u} + \mathbf{v}$ har längd $\sqrt{7}$. Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
Eftersom $\lVert\mathbf u+\mathbf v\rVert^2=7$ gäller $$7=\lVert\mathbf u\rVert^2+2\mathbf u\cdot\mathbf v+\lVert\mathbf v\rVert^2=4+2\mathbf u\cdot\mathbf v+9.$$ Alltså är $\mathbf u\cdot\mathbf v=-3$. Då $\mathbf u\cdot\mathbf v=6\cos\theta$ fås $\theta=\arccos(-1/2)=2\pi/3$.
Bestäm matrisen för den linjära avbildning av rummet in i sig självt som definieras av att vektorn $\mathbf{u}$ först projiceras vinkelrätt till planet $x - y = 0$ och därefter speglas i origo.
Projektionen längs $(1,-1,0)$ på planet $x-y=0$ skickar $(x_0,y_0,z_0)$ till $((x_0+y_0)/2,(x_0+y_0)/2,z_0)$. Dess matris är $$P=\begin{pmatrix}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Speglingen i origo har matrisen $-I$, så den sammansatta avbildningen har matris $$-P=\begin{pmatrix}-1/2&-1/2&0\\-1/2&-1/2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$