Uppgift 1
I en liten skola finns $45$ flickor och $63$ pojkar. Man vill välja ett elevråd bestående av $12$ personer. Antalet flickor och pojkar i rådet skall motsvara förhållandet i skolan. På hur många olika sätt kan rådet väljas?
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2011-05-25
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Andelen flickor är $45/(45+63)=5/12$. Rådet ska därför ha fem flickor och sju pojkar. Antalet råd är $$\binom{45}{5}\binom{63}{7}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm $\lvert z + 2\overline{z}\rvert$, då $z = 1 - \frac{1}{1+i}$.
Visa lösningDölj lösning
Vi får $$z=1-\frac1{1+i}=\frac{1+i}{2},\qquad\overline z=\frac{1-i}{2}.$$ Därmed $$z+2\overline z=\frac32-\frac12i,$$ och alltså $$\lvert z+2\overline z\rvert=\sqrt{\frac94+\frac14}=\frac{\sqrt{10}}2.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Bestäm den sista siffran i talet $2^{2011} + 3^{2010} + 7^{2013}$.
Visa lösningDölj lösning
Modulo $10$ gäller $2^5\equiv2$, $3^4\equiv1$ och $7^4\equiv1$. Därför $$2^{2011}\equiv8,\qquad3^{2010}\equiv9,\qquad7^{2013}\equiv7\pmod{10}.$$ Summan är $24\equiv4\pmod{10}$, så sista siffran är $4$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
För vilket $a$ ligger de fyra punkterna $(2, 1, -1)$, $(-3, 2, 1)$, $(6, a, 5)$ och $(-1, 3, 4)$ i ett och samma plan? (ON-system)
Visa lösningDölj lösning
Planet genom $(2,1,-1)$, $(-3,2,1)$ och $(-1,3,4)$ har normalvektorn $(-5,1,2)\times(-3,2,5)=(1,19,-7)$ och ekvationen $$x+19y-7z-28=0.$$ Insättning av $(6,a,5)$ ger $6+19a-35-28=0$, alltså $$a=3.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Låt $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ vara två vektorer sådana att $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} = 10$, $\lVert\mathbf{u}\rVert = 2$ samt $\lVert\mathbf{v}\rVert = 5$. Bestäm $\lVert 3\mathbf{u} - 4\mathbf{v}\rVert$. (Ledtråd: undersök $\lVert 3\mathbf{u} - 4\mathbf{v}\rVert^2$.)
(b)
Antag att $\lVert\mathbf{u}\rVert = 1$, $\lVert\mathbf{v}\rVert = 2$ samt att vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är $60^\circ$. Bestäm skalärprodukten $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$ samt cosinus för vinkeln mellan vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{u} + \mathbf{v}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) $$\lVert3\mathbf u-4\mathbf v\rVert^2=9\lVert\mathbf u\rVert^2-24\mathbf u\cdot\mathbf v+16\lVert\mathbf v\rVert^2=36-240+400=196.$$ Alltså är längden $14$.
(b) $$\mathbf u\cdot\mathbf v=1\cdot2\cos60^\circ=1.$$ Vidare är $\mathbf u\cdot(\mathbf u+\mathbf v)=2$ och $\lVert\mathbf u+\mathbf v\rVert=\sqrt7$. Den sökta cosinusen är därför $$\frac{2}{\sqrt7}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Punkten $E$ delar diagonalen $AC$ i parallellogrammen $ABCD$ i förhållandet $1:2$ (dvs $\lVert\overrightarrow{AE}\rVert : \lVert\overrightarrow{EC}\rVert = 1 : 2$). Punkten $F$ delar diagonalen $BD$ i förhållandet $3:1$. Uttryck vektorn $\overrightarrow{EF}$ i basen $\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\}$.
Visa lösningDölj lösning
Med $\mathbf a=\overrightarrow{AB}$ och $\mathbf d=\overrightarrow{AD}$ gäller $$\overrightarrow{AE}=\frac13(\mathbf a+\mathbf d),\qquad\overrightarrow{AF}=\frac14\mathbf a+\frac34\mathbf d.$$ Alltså $$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}=-\frac1{12}\mathbf a+\frac5{12}\mathbf d.$$