Uppgift 1
(a)
Har ekvationen $29172x+31654y=15$ någon heltalslösning?
(b)
Vilken (vilka) av följande olikheter gäller då det är känt att $x^2-77>0$:
(i)
$x>-5$
(ii)
$x>5$
(iii)
$\lvert x\rvert>5$
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2011-08-15
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
(a) Euklides algoritm ger $\operatorname{SGD}(29172,31654)=34$. Eftersom $34\nmid15$ saknar ekvationen heltalslösningar.
(b) Av $x^2>77$ följer $|x|>\sqrt{77}>5$. Endast (iii) gäller.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Ett orakel har avslöjat att ekvationen $3x^3-7x^2+8x-2=0$ säkert har någon rationell rot. Bestäm samtliga rötter till denna ekvation.
Visa lösningDölj lösning
En rationell rot är $1/3$. Faktorisering ger $$3x^3-7x^2+8x-2=3(x-\frac13)(x^2-2x+2).$$ Alltså är rötterna $$\frac13,\qquad1+i,\qquad1-i.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
En ledningsgrupp bestående av tre personer: ordförande, viceordförande och kassör, ska väljas på ett företag med 20 personer: 8 kvinnor och 12 män. I ledningsgruppen måste minst en kvinna ingå. På hur många sätt kan en sådan ledningsgrupp bildas?
Visa lösningDölj lösning
Först väljs tre personer och därefter deras poster. Vi utesluter de rent manliga valen:
$$3!\left(\binom{20}{3}-\binom{12}{3}\right)=5520.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Formulera binomialsatsen och med hjälp av denna visa att
$$ \binom{n+2}{n}^{n}>5-\frac{2}{n} $$
för alla heltal $n\ge 3$. (Ledtråd: titta på de första tre termerna i binomialutvecklingen.)
Visa lösningDölj lösning
Binomialsatsen ger $$(1+t)^n=1+nt+\binom n2t^2+\cdots.$$ Med $t=2/n$ får vi $$\left(1+\frac2n\right)^n>1+2+\frac{n(n-1)}2\frac4{n^2}=5-\frac2n,$$ vilket gäller för $n\ge3$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Linjen $\ell_1\colon (x,y,z)=(7,-5,5)+t(1,1,0)$ skär planet $\Pi\colon -x+4y+z=2$ i punkten $P$. Linjen $\ell_2\colon (x,y,z)=(3,0,1)+t(2,-1,2)$ skär planet $\Pi$ i punkten $Q$. Bestäm avståndet mellan $P$ och $Q$.
(b)
Bestäm ekvationen för planet som består av alla punkter $R$ som har samma avstånd till $P$ och $Q$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Insättning i planet ger $P=(15,3,5)$ och $Q=(1,1,-1)$. Därför $$|PQ|=\sqrt{(-14)^2+(-2)^2+(-6)^2}=2\sqrt{59}.$$
(b) Mittpunkten är $R=(8,2,2)$ och normalvektorn kan tas som $P-Q=(14,2,6)$. Mittplans-ekvationen blir $$7x+y+3z-64=0.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen $T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ som avbildar vektor $(2,1)$ på $(1,3)$ och vektor $(-1,0)$ på $(2,0)$.
Visa lösningDölj lösning
Låt $\mathbf e_1,\mathbf e_2$ vara standardbasen. Då $T(-1,0)=(2,0)$ får vi $T(\mathbf e_1)=(-2,0)$. Ur $T(2,1)=(1,3)$ följer $T(\mathbf e_2)=(5,3)$. Matrisen är alltså $$\begin{pmatrix}-2&5\\0&3\end{pmatrix}.$$