MM2001 · Hela algebra
Rita i komplexa talplanet följande mängder:
$\{z\in\mathbb{C}\mid \lvert z-1\rvert\le 1\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid -\pi/4\le\operatorname{Arg}z\le\pi/4\}$
$\{z\in\mathbb{C}\mid z+\overline{z}=3\}\cap\{z\in\mathbb{C}\mid z-\overline{z}=4i\}$
(a) Mängden är skärningen av den slutna skivan med centrum $1$ och radie $1$ med sektorn $-\pi/4\le\operatorname{Arg}z\le\pi/4$.
(b) Skriv $z=x+iy$. Ekvationerna ger $2x=3$ och $2iy=4i$, alltså är den enda punkten $$z=\frac32+2i.$$
Ekvationen $z^4+2z^3+10z^2+10z+25=0$ har en lösning på formen $z=iy$ för något reellt tal $y$. Lös ekvationen.
Eftersom koefficienterna är reella är även $-iy$ en rot. Därför faktoriserar vi som $$z^4+2z^3+10z^2+10z+25=(z^2+5)(z^2+2z+5).$$ Rötterna är $$i\sqrt5,\quad-i\sqrt5,\quad-1+2i,\quad-1-2i.$$
Låt $L_1$ vara skärningen av planet $x=0$ och planet $y=0$, och $L_2$ linjen genom $(1,2,3)$ med riktningsvektorn $(1,-1,1)$. Bestäm på normalform ekvationen för det plan som innehåller punkten $(1,1,1)$ och som är parallellt med de båda linjerna $L_1$ och $L_2$.
$L_1$ är $z$-axeln med riktningsvektor $(0,0,1)$, och $L_2$ har riktningsvektor $(1,-1,1)$. En normalvektor är deras kryssprodukt $(1,1,0)$. Planet genom $(1,1,1)$ är därför $$x+y-2=0.$$
Bestäm ekvationen i normalform för planet $\Pi$ genom punkten $A=(1,1,1)$ och den räta linje $\ell$ som har ekvationen $(x,y,z)=(1+2t,2+5t,-1+3t)$.
En normalvektor ska vara ortogonal mot både $(2,5,3)$ och $(0,-1,2)$. Deras kryssprodukt är $(13,-4,-2)$. Planets ekvation genom $(1,1,1)$ är $$13x-4y-2z-7=0.$$
I en säck ligger 8 olika böcker.
De placeras på en bokhylla. På hur många sätt kan detta ske (om bara ordningsföljden mellan böckerna räknas)?
Samtliga åtta delas upp i två högar med åtminstone en bok i varje hög. På hur många sätt kan detta ske? (bara vilka böcker som är i respektive hög räknas, och högarna har ingen speciell ordning.)
(a) Böckerna kan ordnas på $$8!=40320$$ sätt.
(b) Välj den mindre högen. Antalet är $$\binom81+\binom82+\binom83+\frac12\binom84=8+28+56+35=127.$$
Bestäm alla heltalslösningar till
$$ 43x+19y=4. $$
Euklides algoritm ger $$1=4\cdot43-9\cdot19.$$ Multiplicerat med $4$ ger detta en lösning $(x,y)=(16,-36)$ till $43x+19y=4$. Alla heltalslösningar är $$x=16+19n,\qquad y=-36-43n,\qquad n\in\mathbb Z.$$