MM2001 · Hela algebra

Tenta 2015-06-08

#Uppgift 1

Uppgift 1

Avgör vilket av följande tal som är störst: $(100!)^{1/100}$ eller $(101!)^{1/101}$.

Visa lösningDölj lösning

Eftersom båda leden är positiva räcker det att visa $(100!)^{101}<(101!)^{100}$. Efter division med $(100!)^{100}$ återstår $100!<101^{100}$, vilket är sant faktor för faktor.

#Uppgift 2

Uppgift 2

Faktorisera polynomet $p(x) = 2x^3 + x^2 + 3x - 2$, dels i linjära faktorer och dels i faktorer med reella koefficienter.

Visa lösningDölj lösning

Rationella rotteoremet ger roten $x=1/2$. Därför

$$2x^3+x^2+3x-2=(2x-1)(x^2+x+2),$$

och de komplexa rötterna är $(-1\pm i\sqrt7)/2$.

#Uppgift 3

Uppgift 3

Ange för alla reella värden på $a$ och $b$ när följande påståenden är sanna:

$\exists x\in\mathbb{R}: ax = b$.
$\exists x\in\mathbb{R}: ax \ne b$.
$\forall x\in\mathbb{R}: ax = b$.
$\forall x\in\mathbb{R}: ax \ne b$.

(Du måste som vanligt motivera dina svar med bevis eller motexempel.)

Visa lösningDölj lösning

$\exists x:ax=b$ gäller då $a\ne0$ eller $a=b=0$. $\exists x:ax\ne b$ gäller utom då $a=b=0$. $\forall x:ax=b$ gäller precis då $a=b=0$, medan $\forall x:ax\ne b$ gäller precis då $a=0$, $b\ne0$.

#Uppgift 4

Uppgift 4

Antag att $\mathbf{u} = (5, 1, -4)$ och $\mathbf{v} = (2, 5, 1)$ är vektorer i rummet. Bestäm projektionen $\mathbf{v}_{\mathbf{u}}$ av $\mathbf{v}$ på $\mathbf{u}$. Bestäm även vinkeln $\alpha$ mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.

Visa lösningDölj lösning

Projektionen är $\operatorname{proj}_u(v)=(u\cdot v)u/|u|^2=\frac{11}{42}(5,1,-4)$. Vinkeln är $\alpha=\arccos\left(\frac{11}{6\sqrt{35}}\right)$.

#Uppgift 5

Uppgift 5

Låt $\ell : (1 + 3t, 1 + 2t, 2 + 2t)$, $t\in\mathbb{R}$, och $\ell' : (1 + 5s, s, s)$, $s\in\mathbb{R}$, vara två linjer i rummet. Låt $\Pi$ vara ett plan som innehåller $\ell$ och som är parallellt med $\ell'$.

Bestäm avståndet från $\ell'$ till $\Pi$.
Bestäm avståndet mellan $\ell'$ och $\ell$.

Visa lösningDölj lösning

En normal till planet är $(3,2,2)\times(5,1,1)=(0,7,-7)$, så planet har ekvationen $y-z+1=0$. Avståndet till den parallella linjen är $1/\sqrt2$, vilket också är avståndet mellan de två linjerna.

#Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet.

(a)

Ge ett exempel på en linjär avbildning $F : V \to V$ som är inverterbar och sådan att $F(1, 1, 1) = (1, 2, 3)$.

(b)

Ge ett exempel på en linjär avbildning $G : V \to V$ som inte är surjektiv och som uppfyller att $G(1, 2, 3) = (1, 1, 1)$.

(c)

Låt $S = F\circ G$ där $F$ och $G$ är de avbildningar du valde i deluppgift (a) och (b). Ge exempel på två vektorer $\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V$ sådana att $\mathbf{u} \ne \mathbf{v}$ men $S\mathbf{u} = S\mathbf{v} = (1, 2, 3)$. (Detta exempel visar att $S$ inte är injektiv.)

Visa lösningDölj lösning

Exempelvis fungerar $A=\operatorname{diag}(1,2,3)$ som inverterbar avbildning. Matrisen $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ är inte surjektiv. För dessa val är $AB(1,0,0)^T=(1,2,3)^T$.