MM2001 · Hela algebra

Tenta 2015-08-17

Karl Rökaeus6 uppgifter

#Uppgift 1

Uppgift 1

Rita följande mängder i det komplexa talplanet:

(a)

$\{e^{t\pi i}\mid t\in\{0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\}\}$,

(b)

$\{e^{t\pi i}\mid t\in\mathbb{R}\}$,

(c)

$\{2^t e^{t\pi i}\mid t\in[0,2]\}$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Mängden är $\{1,i,-1,-i\}$. (b) När $0\le t\le2$ beskriver $e^{\pi it}$ enhetscirkeln. (c) Faktoren $2^t$ växer från $1$ till $4$, så kurvan är en spiral.

#Uppgift 2

Uppgift 2

Beräkna resten då $x^{1000}+x^{78}+3x+1$ delas med $x^3-x^2+x-1$.

Visa lösningDölj lösning

Skriv resten som $ax^2+bx+c$. Insättning av rötterna $1,i,-i$ till $x^3-x^2+x-1$ ger $a=1$, $b=3$, $c=2$. Resten är alltså $x^2+3x+2$.

#Uppgift 3

Uppgift 3

På hur många sätt kan man dela ut 4 äpplen och 5 päron till tre barn så att varje barn får tre frukter var? Äpplena anses inbördes likvärdiga, samma för päronen.

I uppgift 4–6 är samtliga koordinater angivna i en positivt orienterad ON-bas:

Visa lösningDölj lösning

Fördelningarna av fyra äpplen är typerna $(3,1,0)$, $(2,2,0)$ och $(2,1,1)$, med respektive $6$, $3$ och $3$ val. Totalt fås $12$ fördelningar.

#Uppgift 4

Uppgift 4

Låt $K\subseteq\mathbb{R}^3$ vara den första oktanten i det Kartesiska rummet, alltså $K=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0\}$.

Finn ett plan $\Pi\subseteq\mathbb{R}^3$ sådant att $\Pi\cap K=\varnothing$. (Med andra ord, $\Pi$ får inte skära den första oktanten.)
Finn ett plan $\Pi'\subseteq\mathbb{R}^3$ sådant att $\Pi'\cap K=\{(0,0,0)\}$. (Med andra ord, $\Pi'$ skall skära den första oktanten precis i origo.)

Det är valfritt om du vill ange dina plan på normalform eller på parameterform.

Visa lösningDölj lösning

Exempel är planet $z=-1$, med parametrisering $(0,0,-1)+s(1,0,0)+t(0,1,0)$, samt planet $x+y+z=0$.

#Uppgift 5

Uppgift 5

Låt $\ell\colon (1+3t,1+2t,2+2t)$, $t\in\mathbb{R}$ och $\ell'\colon (1+3s,2s,2s)$, $s\in\mathbb{R}$ vara två linjer i rummet.

Låt $\Pi$ vara det plan som innehåller $\ell$ och punkten $(1,1,1)$.

(a)

Bestäm avståndet från $\ell'$ till $\Pi$.

(b)

Bestäm avståndet mellan $\ell'$ och $\ell$.

(c)

Visa att det senare avståndet är större än eller lika med det förra. (Om du inte klarat av att lösa deluppgift (a) eller (b) så går det ändå att lösa del (c) genom att ge ett geometriskt argument.)

Visa lösningDölj lösning

Planet har ekvationen $-2x+3y=1$. Avståndet till den parallella linjen är $3/\sqrt{13}$. Minimering längs linjerna ger avståndet $7/\sqrt{17}$ mellan dem; det kan finnas kortare förbindelser från den andra linjen till planet.

#Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $V$ vara mängden av vektorer i rummet.

Finn en linjär avbildning $F\colon V\to V$ sådan att $F(1,1,2)=(3,2,1)$ och $F(2,3,1)=(1,1,2)$ och sådan att $F$ är inverterbar.
Finn en linjär avbildning $F\colon V\to V$ sådan att $F(1,1,2)=(3,2,1)$ och $F(2,3,1)=(1,1,2)$ och sådan att $F$ inte är inverterbar.

Visa lösningDölj lösning

En inverterbar lösning är $\begin{pmatrix}8&-5&0\\5&-3&0\\0&3/5&1/5\end{pmatrix}$. En icke-inverterbar lösning erhålls genom att ersätta sista raden med $(1,0,0)$.