MM2001 · Hela analys
Betrakta funktionen
$$h(x)=e^{-2x^3+3x^2+1}.$$
Undersök funktionen med avseende på lokala extrempunkter. Ange även eventuella asymptoter. Rita grafen till funktionen $h$.
Anmärkning: Konvexitet behöver inte undersökas.
Skissa grafen till funktionen $y=h(\lvert x\rvert)$. Använd dina resultat från deluppgift (a).
(a) $h'(x)=6x(1-x)e^{-2x^3+3x^2+1}$. Funktionen har lokalt minimum $(0,e)$ och lokalt maximum $(1,e^2)$, med $h(x)\to\infty$ då $x\to-\infty$ och $h(x)\to0$ då $x\to\infty$. (b) $h(|x|)$ är jämn; grafen erhålls genom att spegla grafen för $x\ge0$ i $y$-axeln.
Betrakta differentialekvationen
$$y''+2y'=0.$$
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen.
Finns det någon lösning som uppfyller
$$\lim_{x\to\infty}y(x)=1\qquad\text{och}\qquad y(0)=0?$$
Ange den i så fall.
(a) Karakteristiska ekvationen $r^2+2r=0$ ger $y=Ae^{-2x}+B$. (b) Villkoren ger $A=-1$, $B=1$, alltså $$y=1-e^{-2x}.$$
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D(x+y)\,dx\,dy,$$
där $D$ är området som begränsas av linjen $y=4$ och kurvan $y=x^2$.
$$\iint_D(x+y)\,dxdy=\int_{-2}^2\int_{x^2}^4(x+y)\,dy\,dx=\frac{128}{5}.$$
Bestäm största och minsta värde av funktionen
$$F(x,y)=2x^2-2xy-3x+xy^2$$
i triangeln med hörn i punkterna $(0,0)$, $(0,3)$ och $(3,0)$.
Den enda stationära punkten i triangeln är $(1,1)$ med värdet $-2$. Randanalys ger kandidaterna $0,-9/8,-32/27,9$. Alltså är största värdet $9$ och minsta värdet $-2$.
Betrakta funktionen
$$G(x)=(e^x-1)\left(1-\frac12x+\frac{1}{12}x^2\right).$$
Bestäm Maclaurinpolynomet av ordning 5 till funktionen $G$.
Bestäm $G^{(4)}(0)$.
(a) Multiplikation av serien ger $$G(x)=x+\frac{x^5}{720}+O(x^6),$$ så $p_5(x)=x+x^5/720$. (b) $G^{(4)}(0)=0$.
Antag att $f(x)$ är en funktion sådan att tangenten till funktionsgrafen för $x=2$ går genom $(0,1)$. Antag också att $f(2)=5$. Sätt $g(x)=\frac{f(x)}{x}$.
Visa att $g'(2)=-\frac14$.
Bestäm ekvationen till tangenten till $y=g(x)$ för $x=2$.
Anmärkning: Du får använda påståendet från (a) i deluppgift (b).
Tangenten ger $f'(2)=2$. För $g(x)=f(x)/x$ är $g'(2)=-1/4$ och $g(2)=5/2$. Tangentens ekvation är därför $$x+4y=12.$$