Uppgift 1
Undersök funktionen
$$h(x)=\frac{x^3-2x^2}{(x+1)^2},\qquad x\ne-1$$
med avseende på lokala extrempunkter, asymptoter samt konvexitetsegenskaper. Skissa grafen till funktionen $h$!
MM2001 · Hela analys
Tenta 2014-06-12
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
$h'(x)=\frac{x(x-1)(x+4)}{(x+1)^3}$ och $h''(x)=\frac{14x-4}{(x+1)^4}$. Lokala maxima är $(-4,-25/3)$ och $(0,0)$, lokalt minimum $(1,-1/4)$. Asymptoterna är $x=-1$ och $y=x-4$; funktionen är konkav för $x<2/7$ (utom $-1$) och konvex för $x>2/7$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Beräkna den generaliserade integralen
$$\int_9^\infty\frac{1}{(x+3\sqrt{x}+2)\sqrt{x}}\,dx.$$
Visa lösningDölj lösning
Med $x=t^2$ blir integralen $$2\int_3^\infty\left(\frac1{t+1}-\frac1{t+2}\right)dt=2\ln\frac54.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Beräkna dubbelintegralen
$$\iint_D e^{x^2+y^2}\,dx\,dy$$
där $D$ är området $\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\ x<0,\ y>0\}$.
Visa lösningDölj lösning
I polära koordinater är $$\iint_D e^{x^2+y^2}dxdy=\int_{\pi/2}^{\pi}\int_0^2e^{r^2}r\,drd\varphi=\frac\pi4(e^4-1).$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
$$y''+y'-2y=3e^x.$$
(b)
Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen
$$xy'+2y=4x^2.$$
Visa lösningDölj lösning
(a) $$y=Ae^x+Be^{-2x}+xe^x.$$ (b) Med integrerande faktor $x^2$ fås $$y=x^2+\frac{C}{x^2}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Betrakta funktionen
$$g(x)=(3-x^2)\sin x+(x^2-3x)\cos x.$$
(a)
Bestäm Maclaurinpolynomet $p_4(x)$ av ordning 4 till till $g$.
(b)
Beräkna
$$\lim_{x\to0}\frac{g(x)-x^2}{(\ln(x+1))^4}.$$
(c)
För vilket värde på $\alpha$ gäller
$$\lim_{x\to0}\frac{g(x)+\alpha x^2}{x^2}=3?$$
Visa lösningDölj lösning
(a) $p_4(x)=x^2-x^4/2$. (b) Gränsvärdet är $-1/2$. (c) $\lim_{x\to0}(g(x)+\alpha x^2)/x^2=1+\alpha$, alltså $\alpha=2$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Av ett polynom $f$ känner man till derivatan $f'(x)=2-x$:
Ange för varje av de följande påståenden om det är sant eller ej och ange en kort motivering!
(a)
Punkten $x_1=0$ är en inflexionspunkt för $f$.
(b)
Funktionen $f$ är strängt avtagande i intervallet $[0,1]$.
(c)
Tangenten till grafen av $f$ i punkten $(0,f(0))$ har lutning 2.
(d)
Punkten $x_2=2$ är en lokal maximipunkt för $f$.
(e)
Punkten $x_2=2$ är en lokal minimipunkt för $f$.
OBS: Rätt svar utan eller med fel motivering ger inga poäng!
Visa lösningDölj lösning
(a) falskt; $f''=-1$. (b) falskt; $f'>0$ på $[0,1]$. (c) sant; $f'(0)=2$. (d) sant; $f'$ byter tecken från positivt till negativt vid $2$. (e) falskt.