Uppgift 1
Undersök funktionen $f(x)=\frac{1}{x}+\ln x$ med avseende på lokala extrempunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$. Ange också värdemängden för $f$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2015-02-21
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
För $f(x)=1/x+\ln x$ gäller $f'=(x-1)/x^2$ och $f''=(2-x)/x^3$. Minsta värdet är $f(1)=1$; funktionen är konvex på $(0,2)$ och konkav på $(2,\infty)$. Asymptoten är $x=0$ då $x\to0^+$ och värdemängden $[1,\infty)$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm alla lösningar till följande differentialekvationer:
(a)
$y''+2y'-3y=x-e^{2x}$,
(b)
$xy'-y=\frac{x^3}{1+x^2}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) $$y=C_1e^x+C_2e^{-3x}-\frac{x}{3}-\frac29-\frac15e^{2x}.$$ (b) Med integrerande faktor $1/x$ fås $$y=\frac{x}{2}\ln(1+x^2)+Cx.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)$,
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{2\sin x-\arctan x-x}{x\cos(2x^2)-x}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Rationalisering ger gränsvärdet $1$. (b) Serieutvecklingar ger $$\lim_{x\to0}\frac{2\sin x-\arctan x-x}{x\cos(2x^2)-x}=\frac{11}{120}.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Beräkna volymen av den kropp som uppstår då området som begränsas av $x$-axeln och kurvan $y=\sqrt{x}e^{-x}$, $x\ge0$, roterar kring $x$-axeln.
Visa lösningDölj lösning
$$V=\pi\int_0^\infty xe^{-2x}dx=\frac\pi4.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
(a)
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=\frac{y}{4+x^2+y^2}$ i cirkelskivan $x^2+y^2\le9$.
(b)
Bestäm tangentplanet till ytan $z=f(x,y)=\frac{y}{4+x^2+y^2}$ i punkten $(0,2,\frac14)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) De stationära punkterna är $(0,\pm2)$ med värden $\pm1/4$; randvärdena är $\pm3/13$. Alltså är största/minsta värde $\pm1/4$. (b) Tangentplanet i $(0,2,1/4)$ är $z=1/4$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D y\,dx\,dy$, där $D$ är triangeln med hörn i punkterna $(-2,0)$, $(2,0)$ och $(0,2)$.
Visa lösningDölj lösning
$$\iint_Dy\,dxdy=\int_0^2\int_{y-2}^{2-y}y\,dxdy=\frac83.$$