Uppgift 1
Undersök funktionen $f(x)=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$ med avseende på lokala extrempunkter, konvexitet och asymptoter. Rita grafen för $f$.
MM2001 · Hela analys
Tenta 2015-05-19
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
$f'=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}$ och $f''=\frac8{(x-1)^3}$. Lokalt maximum/minimum fås vid $x=-1,3$; asymptoterna är $x=1$ och $y=x+5$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Beräkna följande gränsvärden:
(a)
$\lim_{n\to\infty}n^{1/(1+\ln n)}$
(b)
$\lim_{x\to0}\frac{x\cos 2x-6\arctan x+5x}{x^2\ln(1+x^3)}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Gränsvärdet är $e$. (b) Serieutveckling ger gränsvärdet $-\frac8{15}$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
Visa att $\ln x\le x^2-x$ för alla $x>0$. Finns det någon punkt där kurvorna $y=\ln x$ och $y=x^2-x$ tangerar varandra? Bestäm den eller dem i så fall.
Visa lösningDölj lösning
$\ln x\le x^2-x$ för $x>0$, med likhet endast vid $x=1$; kurvorna tangerar där längs $y=x-1$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
(a)
Bestäm alla lösningar till differentialekvationen $y''+3y'-10y=e^{3x}$.
(b)
Bestäm den lösning till differentialekvationen $y'(1+x)=1+y^2$ som uppfyller villkoret $y(0)=1$.
Visa lösningDölj lösning
(a) $y=C_1e^{-5x}+C_2e^{2x}+\frac18e^{3x}$. (b) $y=\tan(\ln(1+x)+\pi/4)$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm största och minsta värde för funktionen $f(x,y)=x-xy^2+y$ i triangeln med hörn i punkterna $(0,0)$, $(1,0)$ och $(1,2)$.
Visa lösningDölj lösning
Randanalys ger största värdet $5/4$ och minsta värdet $-1$.
#Uppgift 6
Uppgift 6
Beräkna dubbelintegralen $\iint_D x\,dx\,dy$ i följande två fall:
(a)
$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge1\}$,
(b)
$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\le1\}$.
Visa lösningDölj lösning
(a) $\iint_Dx\,dxdy=5/6$. (b) Motsvarande integral är $9/2$.